Logaritmus teljes útmutató– az alapoktól a gyakorlati példákig

A logaritmus definíciója

Az előzővel egyenértékű megfogalmazás, mely összefüggés fontos lesz a logaritmus azonosságainak bizonyításánál:

A logaritmus feltételrendszere

a ≠ 1
Azért kell kikötni, hogy „a” egytől különböző pozitív szám kell legyen, mert az 1-es alapú logaritmusnak nincs értelme és megoldása. Például:

Ez ugyebár azt kérdezi, hogy az 1-et hányadik hatványra kell emelni, hogy 8-at kapjunk. Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, mivel az 1-et akárhányadik hatványra is emelve mindig 1-et kapunk.

a pozitív
Ez az, ami elsőre talán érthetetlen, hiszen negatív számokat lehet hatványozni. Például:

Igen ám, de negatív számokat már nem tudunk tört kitevőre emelni, mert gyök alatt lenne negatív szám — az pedig már nem értelmezett a valós számok halmazán.
Az alábbi kifejezés például nem értelmezhető valós számként:

b pozitív
Ugye ezt a számot szeretnénk eredményként kapni. Ez a feltétel sem teljesen magától értetődő, mivel hatványozás eredménye lehet negatív szám, például:

Azonban ne feledjük, hogy az előző feltételnél kikötöttük, hogy az alap csak pozitív lehet. Ezt a pozitív alapot háromféleképpen hatványozhatom:
– Egész pozitív számra emelem, például: Ez sosem fog negatív számot eredményezni.
– Egész negatív számra emelem, például:
Ez a reciprok, és ez sem fog sosem negatív számot eredményezni.
– Tört kitevőre emelem, például:
Ez pedig gyökvonás, és mivel pozitív számból vonok gyököt, ez sem eredményezhet negatív számot.
Lényegében tehát ez a feltétel az előző vonzata, hogy „a” számnak, azaz az alapnak pozitívnak kell lennie az ismertetett ok miatt.

a és b lehet törtszám
Ez a tény abból következik, hogy a kikötés az volt, hogy “a” és “b” pozitív valós számok. Megjegyzendő azonban:
– Az 1 is pozitív valós szám, de ugye az alapnak egynél nagyobbnak is kell lennie.
– Komplex számok sem lehetnek természetesen, de ezek nincsenek rajta az alábbi képen, mert nem tagjai a valós számok halmazának.
– “a” ás “b” lehet irracionális, például: “e”.
– 0 sem lehet egyik sem.

A kitevő (x) lehet negatív és törtszám is
Fontos megjegyezni, hogy a kitevő lehet negatív és törtszám is. Ha a kitevő negatív, az nem eredményez negatív számot, hanem reciprokot jelent:

A logaritmus magyarázata

A logaritmus értelmezését levezethetjük a hatványozás jól ismert és sokat használt összefüggéséből is:

Míg az első összefüggés azt írja le, hogyha a 4-et a második hatványra emelem, akkor 16-ot kapok, addíg a második állítás csupán más szemszögből közelíti meg a dolgot, és azt fejezi ki, hogy hányadik hatványra kell emelnem a 4-et, hogy 16-ot kapjak.

Példa logaritmusra:

Hányadikra kell emelnem a 3-at, hogy 81-et kapjak? A válasz:

Logaritmus azonosságai

Ez a cikk az azonosságok felsorolását és rövid értelmezését tartalmazza a tömörség érdekében. A részletes magyarázatokat és bizonyításokat a következő cikkben találod: Ugrás a részletes magyarázatra →

Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanazon alapú logaritmusának összegével.
A bizonyítás ide kattintva érhető el

Az azonosság azt mondja ki, hogy egy tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező ugyanazon alapú logaritmusának különbségével.
A bizonyítás ide kattintva érhető el

Az azonosság azt mondja ki, hogy egy hatvány logaritmusa egyenlő az alap ugyanezen alapú logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával.
A bizonyítás ide kattintva érhető el

Ezen azonosság segítségével tudunk egy adott alapú logaritmusról (példában “c”) áttérni egy új logaritmus alapra (példában “a”).
A bizonyítás ide kattintva érhető el

Ez az azonosság nem tartozik a “klasszikus” névvel ellátott azonosságok közé, azonban egy teljesen más irányból mutatja be a logaritmus tulajdonságait, ezért érdemes végiggondolni, hogy miért is működik a fenti képlet. Nevezhetjük még “logaritmus-reciprokos hatványazonosságnak”, angolul pedig leggyakrabban “inverse base identity”-ként hivatkoznak rá.
A részletes magyarázat ide kattintva érhető el

Nevezetes logaritmusok

Ezeknek külön jelölésük van a matematikában, és a tudományokban, legyen az matematika, fizika, kémia vagy akár biológia, nagy jelentőségük van.

• 10-es alapú logaritmus
  

  Például a földrengések erősségét jelző szám, a magnitúdó kiszámításakor is használva van a 10-es alapú logaritmus.
  
  
• Természetes alapú logaritmus
  A természetes logaritmus (ln) alapját az Euler-féle szám (e ≈ 2,718) adja.
  
  Fizikai és kémiai folyamatokat leíró egyenleteknél gyakran találkozhatunk vele.

A logaritmus alkalmazása

A legtöbbet a nevezetes 10 és természetes alapú logaritmusokkal találkozunk a tudományokban, így ezeknek fogom bemutatni 1-1 alkalmazását.


A természetes alapú logaritmus
A természetes alapú logaritmus feltűnik a radioaktív anyagok felezési idejének kiszámítására szolgáló képletben.
Radioaktív anyagokról tudjuk, hogy idővel elbomlanak, és nem radioaktív anyagokká alakulnak. Többféle bomlási folyamat is létezik, ezek részletes bemutatása azonban nem célja ennek a cikknek. A bomlás „gyorsaságát” jellemző egyik fontos érték a felezési idő, amely — nevéből adódóan — azt az időt jelöli, amely alatt a radioaktív anyag mennyisége a felére csökken.

Ahol : λ – bomlási állandó, T_1/2 – felezési idő

De miért is kell ebbe a képletbe a természetes alapú logaritmus? A bomlási állandó megadja, hogy az anyag hányadrésze bomlik el egy időegység alatt. Vegyünk egy nagyon gyors bomlást, és mondjuk azt, hogy az anyag 10%-a bomlik el egy nap alatt. Két dolgot kell észrevennünk:
– Mivel 5·10% = 50%, azt hihetnénk, hogy a felezési idő 5 nap. Sajnos a helyzet ennél bonyolultabb. Mindig az aktuális anyagmennyiség 10%-áról beszélünk. Ha van 100 radioaktív részecském, akkor az első nap 10 bomlik el, míg a második nap már csak a maradék 90 részecske 10%-a, azaz 9 db. Így tehát nem 5 nap lesz a felezési idő (csak közel lesz hozzá, pár órával hosszabb).

A fenti ábra is azt próbálja szemléltetni, hogy az aktuális anyag 10%-a bomlik el folyamatosan, nem a kiindulásié, ezért sem olyan egyszerű a képlet.

– Valójában a rendelkezésre álló anyagmennyiség folyamatosan változik, ezért a fenti ábra sem mutatja be pontosan a folyamatot. Nem arról van szó, hogy az anyag „megvárja”, míg elbomlik 10%-a, majd újraszámolja magát, és ismét 10% bomlik el. A változás nem írható le ilyen szakaszosan.
Az elbomló anyagmennyiség — különösen gyors bomlás esetén — a másodperc töredéke alatt is módosul. Amint elbomlik egyetlen részecske, már nem az eredeti anyagmennyiség 10%-ával kell számolnunk.
Ez a folyamatos változás/csökkenés az oka annak, hogy a képletben szükség van a természetes alapú logaritmusra — és egyúttal ezért nem elegendő önmagában a bomlási állandó a felezési idő kiszámításához.
(A λ valójában azt adja meg, hogy egységnyi idő alatt az anyagmennyiség mekkora hányada bomlana el, feltéve, hogy az anyagmennyiség nem csökkenne közben — tehát ha folyamatosan visszapótolnánk.)

10-es alapú logaritmus
Már említve lett, hogy a földrengések erősségét osztályozó Richter-skála is 10-es alapú logaritmuson nyugszik. Na de mit is jelent ez?
Előre bocsátom, hogy nem célom a Richter-skála működésének kívülről-belülről történő bemutatása, hanem csak nagy vonalakban szeretném ismertetni, ami érettségin, ha a logaritmusos tételt húzza valaki, egy kicsit több, mint elég.
A földrengések erősségét a magnitúdó elnevezésű értékkel jellemezzük. Ez az érték nagyjából 0–10 közötti értéket vehet fel (a földkéreg fizikai korlátai szabnak egy elméleti, nagyjából 9,5-es határt), és nem csak egész szám lehet. Alapja a 10-es alapú logaritmus, amely meghatározza két különböző magnitúdójú földrengés egymáshoz viszonyított erejét.
Egy adott földrengés magnitúdójának kiszámítása az alábbi képlettel történik:

A magnitúdó értékek közötti különbségeket az alábbiak szerint kell értelmezni a skála logaritmikus jellege miatt:
– Ha az értékek csak 1-el különböznek, akkor a földrengések erőssége között 10-szeres a különbség.
Egy 2-es magnitúdójú földrengés 10-szer erősebb, mint egy 1-es. 10² vs 10¹
– Ha az értékek 2-vel különböznek, akkor a földrengésekkor erőssége közti különbség 100-szoros.
Egy 9-es magnitúdójú földrengés 100-szor erősebb, mint egy 7-es. 10⁹ vs 10⁷
– Ha az értékek 5-tel különböznek, akkor az eltérés 100.000-szeres.
Egy 7-os magnitúdójú földrengés 100.000-szer erősebb, mint egy 2-es. 10⁷ vs 10²

A paksi atomerőmű elméletileg kibírna akár egy 6,5–7-es magnitúdójú földrengést is, legalábbis a kritikusabb elemei komolyabb károk nélkül. Japánban ezzel szemben úgy építik az erőműveket, hogy akár 7,75–8-as magnitúdójú földrengésnek is ellenálljanak.
Mondhatnánk, hogy a különbség nem is olyan óriási – mi az az egy egység különbség a 7 és 8 között? Igen ám, csakhogy itt jön képbe a Richter-skála logaritmikus jellege.
Egy 7-es és egy 8-as magnitúdójú földrengés között valójában tízszeres az eltérés. A japán erőművek tehát tízszer erősebb rengésnek is ellen tudnak állni, mint a magyar.
Aggodalomra azonban semmi ok, mivel Japánban (alábukó lemezszegélyen helyezkednek el a szigeteik, ezért a világ egyik leginkább földrengés sújtotta régiója), sokkal gyakoribbak és erősebbek a földrengések, mint nálunk. Magyarország ezzel ellentétben szeizmikusan nyugodt térség felett fekszik szerencsére. Nem mi spóroltuk ki tehát a betont Paksból, hanem ők vannak rákényszerülve ellenállóbb erőművek építésére.