A 8-cal való oszthatóság szabálya – Magyarázat, bizonyítás és példák

8-cal való oszthatóság szabálya

8-cal való oszthatóság szabálya: Egy szám akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyéből álló szám osztható 8-cal.

8-cal való oszthatóság szabályának a magyarázata

A szabály azt használja ki, hogy mivel az 1000 osztható 8-cal (1000/8=125), így az 1000 sokszorosai is, mint például a 4.8932.000. Emiatt elég csak az utolsó 3 számjegy 8-cal való oszthatóságát vizsgálni.
Trükk 1: Mivel minden olyan szám, ami osztható 8-cal is, így érdemes a 4-el való oszthatóságot vizsgálni, mert akkor csak az utolsó két számjegyet kell csak számításba venni. Amennyiben kiderülne, hogy igen, akkor sajnos nemm jutottunk előbbre, és vizsgálni kell a 8-cal való oszthatóságot is. Ez a trükk a következő fejezetben ki lesz fejtve.
Trükk 2: Ha szerencsénk van, akkor olyan számot kell vizsgálnunk, aminek az utolsó 3 számjegye olyan számot ad ki, mely közel van valamelyik olyan számhoz, amiről könnyen eldönthető, hogy osztható 8-cal vagy sem.
Példa: 156.212
– Csak az utolsó 3 számjegyből álló számot, a 212-őt kell vizsgálni.
– Könnyen belátható, hogy a 800 osztható 8-cal, és 100-szor van meg benne.
– Ha ez így van, akkor a felében 50-szer lesz meg, ami 400.
– És ha ez így van, akkor annak a felében meg 25-ször lesz meg, ami 200.
(- Ha a 100 is osztható lenne 8-cal, akkor elég lenne az utolsó 2 számjegyet vizsgálni, de nem az.)
– Ha a 200 osztható, akkor a következő két számunk, ami osztható lesz vele a 208 és a 216.
– Ezek alapján mivel 208 < 212 < 216, a 212 nem lehet osztható 8-al.

Első lépésként próbáld a 4-et

Egy háromjegyű számról nem minden esetben könnyű eldönteni, hogy osztható-e 8-cal, ám van egy dolog, amit kihasználhatunk a 8-cal való oszthatóság gyors eldöntésére. Ez pedig nem más, mint az a megállapítás, hogyha egy szám osztható 8-cal, akkor 4-gyel is oszthatónak kell lennie, mivel 2×4=8.
Emlékeztetőül: Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel.
Mivel elegendő csupán az utolsó két számjegy oszthatóságát vizsgálni, így könnyebb dolgunk van. Ha kiderül, hogy a szám osztható 4-gyel, akkor azonban sajnos tovább kell vizsgálódnunk, mivel nem minden 4-el osztható szám osztható 8-cal is.

Példa: 856.322
– Csak az utolsó 3 számjegyből álló számot, a 322-őt kell vizsgálni.
– Sajnos számunk páros, így ez nem visz minket előbbre.
– 322-nek kellene vizsgálni a 8-cal való oszthatóságát, mely kissé időigényes lenne.
– Azonban tudjuk, hogyha 4-gyel nem osztható, akkor 8-cal sem.
– Eme felismerés alapján a 22-nek kell így csak a 4-gyel való oszthatóságát vizsgálni.
– Szerencsére nem osztható 4-gyel, így megállapítható, hogy az eredeti számunk sem.
– Végkövetkeztetés: Ha nem osztható 4-el, akkor 8-cal sem lehet osztható.

Vigyázat! Sajnos, ha kiderül, hogy az utolsó két számjegy osztható 4-gyel, akkor nem tudjuk elkerülni, és meg kell vizsgálnunk a 8-cal való oszthatóságot is, mert a 4-gyel oszthatóság nem elégséges feltétel a 8-cal való oszthatósághoz sajnos!

A 8-cal való oszthatóság bizonyítása

Bármely természetes szám felírható az alábbi alakban:

Mivel az 1000 osztható 8-cal (1000 ≡ 0 (mod 8), így a többszörösei is. Azaz:

stb…

Ezekből következőleg csak az utolsó 3 számjegyből álló szám, azaz B oszthatóságát kell vizsgálni. A példánkban a 128 osztható 8-cal, így az eredeti számunk is. Kijelenthető tehát, hogy számunk csak akkor lesz osztható 8-cal, ha teljesül, hogy:

Példák a 8-cal való oszthatóság eldöntésére

• 583
  Mivel a 8 páros, így csak páros szám lehet osztható vele. Mivel a számunk nem páros, nem is kell tovább vizsgálódnunk.
• 957.482
  Elég csak az utolsó 3 számjegyből álló számot, a 482-őt vizsgálni. Könnyen belátható, hogy:
  – 400 osztható 8-cal (800-ban 100szor van meg, akkor a 400-ban 50-szer)
  – A 80 értelemszerűen osztható vele, mert 8×10=80
  – A számunkhoz legközelebb álló, 8-cal osztható szám a 480.
  Mindezek alapján a 482 nem lehet osztható 8-cal (2 maradékunk lesz).
• 145.396.716
  (Sajnos az utolsó két számjegyből álló szám, a 16, osztható 4-gyel, így ez most nem visz előbbre.)
  Kénytelenek vagyunk az utolsó 3 számjegyből alkotott szám, a 716-nak a 8-cal való oszthatóságát vizsgálni.
  A 800 osztható 8-cal.
  A számunk ennél kisebb, de ha a különbség osztható 8-cal, akkor a számunk is. (800-716=84)
  A különbség 84, melyről könnyen belátható, hogy nem osztható 8-cal, emiatt az eredeti számunk sem lesz osztható vele.