A 6-tal való oszthatóság szabálya – Magyarázat, bizonyítás és példák

6-tal való oszthatóság szabálya

6-tal való oszthatóság szabálya: Egy pozitív egész szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha 2-vel és 3-mal is osztható.

A 6-tal való oszthatóság szabályának magyarázata

Hogy mélyebben megérthessük, miért is működik a szabály, ahhoz abból a megállapításból kell kiindulnunk, hogyha egy szám osztható egy másik számmal, akkor annak a többszörösei is oszthatóak lesznek vele. 6-tal oszthatóság tekintetében ez az alábbit jelenti:

• Mivel a 6 a 3 többszöröse (3·2=6), így bármely szám, ami a 6 többszöröse, egyben a 3 többszöröse is kell legyen, azaz osztható 3-mal. Például bontsuk fel a 36-ot:
  36 = 6 · 6 = 6 · (3 · 2)⟶6 · 2 · 3 = 12 · 3 = 36 Tehát a 36-ban a 6 megvan 6-szor, míg a 3 megvan benne 12-szer.


• Mivel a 6 a 2 többszöröse (2·3=6), így bármely szám, ami a 6 többszöröse, egyben a 2 többszöröse is kell legyen, azaz osztható 2-vel. Például bontsuk fel a 30-at:
  30 = 5 · 6 = 5 · ( 2 · 3)⟶ 5 · 3 · 2 = 15 · 2 = 30 Tehát 30-ban a 6 megvan 5-ször, míg a 2 megvan benne 15-ször.
  (Megfogalmazható lett volna úgy is, hogy mivel a 6 páros, ezért a vele osztható számoknak mind párosnak kell lenniük, ezért értelemszerűen oszthatónak kell lenniük 2-vel is.)

Annak megmutatása tehát nem bonyolult, hogy a 6-tal osztható számok oszthatóak 2-vel és 3-mal is. A nehézséget inkább az adja, hogy említett két követelmény miért elég annak eldöntéséhez, hogy egy szám osztható-e 6-tal vagy sem?
Alakítsuk át a kérdést!
Valójában ezen két előfeltétel elégségességéhez az alábbit kérdezzük: létezik-e olyan szám, ami osztható 2-vel és 3-mal is, de 6-tal nem?
Alakítsuk tovább a kérdést!
Mivel a 6 páros⟶Létezik-e olyan páros szám, ami osztható 3-mal, de 6-tal nem?
A válasz innentől már egyszerű, mivel sajnos minden olyan páros szám, ami osztható 3-mal páros sokszor kell, hogy tartalmazza a 3-at (nyilván ha páratlan sokszor tartalmazná, akkor a szám páratlan lenne). Mivel 2·3=6, így minden szám, ami páros sokszor tartalmazza a 3-at értelemszerűen a 6-nak is többszöröse, azaz osztható vele.
Nem létezhet tehát olyan szám, ami:
– Osztható 6-tal, de 2-vel és 3-mal nem.
– Osztható 2-vel és 3-mal, de 6-tal nem.

A 6-tal való oszthatóság bizonyítása

A bizonyításokat érdemes több szempontból végiggondolni, nem pedig egyet bemagolni, ugyanis minden bizonyítás típus más-más szemszögből közelíti meg a dolgokat, és fejleszti az intuíciót.

Halmazelméleti bizonyítás a 6-tal való oszthatóságra

Az egyszerűbbik bizonyítással kezdjük, ugyanis ez lényegében analóg azzal a gondolatmenettel, amit az előző bekezdésben alkalmaztunk. Ugyanazt a két dolgot kell végiggondolnunk és bizonyítanunk, vagyis hogy nem létezhet olyan szám, ami:
– osztható 6-tal, de 2-vel és 3-mal nem (1. lépés).
– osztható 2-vel és 3-mal, de 6-tal nem (2. lépés).

1. Ha osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel és 3-mal is:
   Első lépésben megmutatjuk, hogyha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel és 3-mal is. Amennyiben a szám osztható 6-tal, akkor a 6-nak nyilván többszöröse, ezért felírható az alábbi alakban:
   
   A 6 valójában a 2 és 3 számok közös többszöröse (2·3=6), így az A szám felírható az alábbi formában is, mely megmutatja, hogyha osztható 6-tal, akkor 2-vel és 3-mal is:
   
   Ez azonban még nem elég, mert halmazelméleti alapon megközelítve még csak azt bizonyítottuk, hogy a 2-vel és 3-mal osztható számok halmazán belül helyezkednek el a 6-tal osztható számok.
   
   Sajnos ez még feltételezi, hogy van olyan 2-vel és 3-mal osztható szám, amely nem osztható 6-tal, így szükségünk van a második lépésre, hogy megmutassuk, hogy a két halmaz valójába egy és ugyanaz.
   
   
2. Ha osztható 2-vel és 3-mal, akkor osztható 6-tal is:
   Most az “ellenkező” irányból kell gondolkodnunk, és megmutatni, hogy minden szám, ami osztható 2-vel és 3-mal is, az egyben osztható 6-tal is. Ehhez 3 felismerést kell tennünk:
   – A 2 és 3 egymáshoz képest relatív prímek, azaz a legnagyobb közös osztójuk 1.
   – Ha egy szám osztható kettő relatív prímszámmal, akkor osztható a szorzatukkal is.
   – Tehát ha egy szám egyszerre osztható 2-vel és 3-mal is, akkor a szorzatukkal is osztható, 2·3=6-tal.
   
   Ezzel a két lépéssel tehát megmutattuk, hogy az egyszerre 2-vel és 3-mal is osztható számok halmaza és a 6-tal osztható számok halmaza valójában egy és ugyanaz. Azaz:
   
   
   Fontos, hogy relatív prímek legyenek a számok, máskülönben a 2. lépésben bemutatott gondolatmenet nem alkalmazható!
   Gondoljunk csak a 2-re és 4-re! Mivel 2·4=8, mondhatom-e, hogy minden szám, ami osztható 2-vel és 4-gyel az egyaránt osztható 8-cal is?
   Nem, mert nem relatív prímek! A 2 osztója a 4-nek. Példa, amire nem is teljesül:
   12 osztói a 2 és 4, de a 8 nem.
   Ez egyben jó példa is arra, hogy miért nem volt elég az első lépés a bizonyításnál!

6-tal való oszthatóság bizonyítása maradékos osztás alapján

Ez a bizonyítás is “kétirányú” az előzőhöz hasonlóan, csupán abban tér el, hogy mi alapján bizonyítom, hogy a 2-vel és 3-mal osztható számoknak 6-tal is oszthatónak kell lenniük. Az előző példában ez volt a második lépés, s most ezen csavarunk egy kicsit.

1. Minden 6-tal osztható szám egyben osztható 2-vel és 3-mal is.
   Ezt az előző két fejezetben már kitárgyaltuk, így itt most csak utalok rá, hogy mivel a 6 az a 2 és a 3 többszöröse, így értelemszerűen bármely szám felírható az alábbi alakban, mely egyértelműen bizonyítja ezt az állítást:
   
   
   
2. Minden 2-vel és 3-mal osztható szám osztható egyben 6-tal is.
   Ezen megállapításhoz több köztes lépéssel jutunk el:

• Minden szám, akár osztható 6-tal akár nem, felírható az alábbi formában, ahol “A”, “B” és “m” egész számokat jelölnek:
  
  
• Állításunk az, hogy ha egy szám osztható 2-vel és 3-mal is, akkor 6-tal is. Tehát:
  – “A” osztható 2-vel. Ez csak úgy lehetséges, ha “m” is, hiszen az egyenlet jobb oldalán a szorzat páros. Hogy páros maradjon a szám, csak páros számot adhatunk hozzá maradékként, vagyis:
  
  – Tudjuk, hogy “A” szám osztható 3-mal is. Az előbbi analógia szerint gondolkodva, mivel a szorzat osztható 3-mal (hiszen a 6·B=2·3·B), így a szám csak akkor őrzi meg ezt a tulajdonságát, ha a hozzáadott maradék is osztható 3-mal, vagyis:
  
  
• Azt kell már csak vizsgálnunk, hogy milyen “m” értékek esetén teljesül a 2-vel és 3-mal való oszthatóság egyszerre.
  Az előzőekben láthattuk, hogy a 6-tal történő osztás 0 és 5 között képez maradékot. Nyilván, ha 0, akkor a számunk osztható 6-tal. Mivel “m” ezáltal egy 0 és 5 közötti szám, és 0 és 5 között nem létezik olyan szám, mely osztható egyszerre 2-vel és 3-mal is, ezáltal kizárólag akkor teljesülnek tehát az előfeltételek az oszthatóságra, ha egyáltalán nincs maradékunk (m=0). Viszont ha ez igaz, akkor a számunk felírható:
  
  Ez már jelzi, hogy a szám a 6 többszöröse, így oszthatónak kell lennie 6-tal. (Az “m”-et elhagytuk, mert nincs olyan 0 és 5 közötti szám, mely osztható lenne egyszerre 2-vel és 3-mal is.)
  Lényegében tehát azt bizonyítottuk, hogy az egyszerre 2-vel és 3-mal is osztható számok nem írhatóak fel A=6·B+m=(2·3)·B+m alakban, csak akkor, ha m=0, viszont akkor felesleges eleme az egyenletnek.
  

Példák a 6-tal való oszthatóság eldöntésére

Mivel a szabály valójában 2 előfeltétel teljesülése, így a feladatok megoldásakor a 2-vel és a 3-mal való oszthatóság szabályára kell támaszkodnunk. Emlékeztetőül:
– 2-vel akkor osztható egy szám, ha páros (az utolsó számjegyet kell csak nézni).
– 3-mal akkor osztható egy szám, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

• 659
  Nem páros, tehát a 2-vel oszthatóság nem teljesül.
  6+5+9=20, tehát 3-mal sem osztható.
• 1248
  Páros, tehát a 2-vel oszthatóság teljesül.
  1+2+4+8=15, ami osztható 3-mal.
  Mindkét feltétel teljesül, tehát osztható 6-tal.
• 930.630.956
  Páros, tehát 2-vel osztható.
  Egy számjegye van csupán, ami nem osztható 3-mal, ez pedig az 5. Így a számjegyeket felesleges összeadni, anélkül is megmondható, hogy a szám nem osztható 3-mal.
  Mivel az egyik feltétel nem teljesül, így a szám nem osztható 6-tal.